1. Chứng minh √7 là số vô tỉ: Để chứng minh rằng √7 là số vô tỉ, bạn có thể sử dụng phương pháp giả sử ngược. Giả sử rằng √7 là số hữu tỉ, tức là có thể biểu diễn dưới dạng phân số đơn giản. Sau đó, dẫn đến mâu thuẫn để chứng minh rằng giả định ban đầu sai. (Xem thêm ¹.)

2. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: a) Chứng minh:

   (ac+bd)2+(ad−bc)2=(a2+b2)(c2+d2)

   b) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki:

   (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

    

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Cho

   $$x+y=2$$

   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   S=x2+y2

   .

    

4. Bất đẳng thức Cauchy: a) Chứng minh:

   (a+1)2≥4a

   b) Cho

   $$a,b,c>0$$

   . Chứng minh:

   $$(a+1)(b+1)(c+1)\ge 8$$

    

5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Cho

   $$a+b=1$$

   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   M=a3+b3

   .

    

6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Cho

   a3+b3=2

   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

   $$N=a+b$$

   .

    

7. Chứng minh bất đẳng thức: Cho

   $$a,b,c$$

   là các số dương. Chứng minh:

   a3+b3+abc≥ab(a+b+c)

    

8. Tìm liên hệ giữa các số

   $$a$$

   và

   $$b$$

   : Biết rằng:

   $$|a+b|>|a-b|$$

    

9. Chứng minh bất đẳng thức: a)

   (a+1)2≥4a

   b) Cho

   $$a,b,c>0$$

   và

   $$abc=1$$

   . Chứng minh:

   $$(a+1)(b+1)(c+1)\ge 8$$

    

10. Chứng minh các bất đẳng thức: a)

    (a+b)2≤2(a2+b2)

    b)

    (a+b+c)2≤3(a2+b2+c2)

     

Hy vọng rằng những bài tập này sẽ giúp bạn ôn luyện và nắm vững kiến thức Toán nâng cao lớp 9. Chúc bạn học tốt! ????